Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=$\frac{3}{2}$，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面CFG；
（Ⅱ）求三棱錐V_P-ACG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角三角形的判定得到∠BAD=$\frac{π}{2}$，且∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{3}$．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠FEA=$\frac{π}{3}$，所以EF⊥AD且AF=FD，結(jié)合題意得到FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA，根據(jù)PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證出AD⊥平面CFG；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)換，求三棱錐V_P-ACG的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABD中，∵E是BD的中點(diǎn)，
∴EA=EB=ED=AB=1，∴AE=$\frac{1}{2}$BD，
可得∠BAD=$\frac{π}{2}$，且∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{3}$，
∵△DAB≌△DCB，
∴△EAB≌△ECB，
從而有∠FED=∠FEA=∠AEB=$\frac{π}{3}$，
故EF⊥AD，AF=FD，
又∵△PAD，中，PG=GD，
∴FG是△PAD的中位線，
∴FG∥PA．
又PA⊥平面ABCD，
∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，
∴GF⊥AD，
又∵EF，F(xiàn)G是平面CFG內(nèi)的相交直線，
∴AD⊥平面CFG．
（Ⅱ）解：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，
∵FG∥面PAC，
∴V_P-ACG=V_G-PAC=V_F-PAC=$\frac{1}{3}$S_△PACh
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}|PA||AC|$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，h=$\frac{1}{2}|OD|$=$\frac{3}{4}$，
∴V_P-ACG=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題在三棱錐中求證線面垂直，并求三棱錐V_P-ACG的體積．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查等體積轉(zhuǎn)換等知識(shí)，屬于中檔題．