Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1，僅當x=-1，x=1時取得極值；
（1）求a、b的值；
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到-1，1是方程f′（x）=0的根，解方程組即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調性即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
當x=-1，x=1時取得極值，
故-1，1是方程f′（x）=0的解，
故$\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=0，b=-3；
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x+1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道基礎題．