Question

直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)P（1，1）且與雙曲線(xiàn)x²-

y2

2

=1交于A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)l的方程為（　�。�

• A、2x-y-1=0
• B、2x+y-3=0
• C、x-2y+1=0
• D、不存在

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：先假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線(xiàn)l的方程，當(dāng)k存在時(shí)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則 

x1+x2

2

=1，k=2 與k＜

3

2

矛盾，當(dāng)k不存在時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M但不滿(mǎn)足條件，故符合條件的直線(xiàn)l不存在

解答： 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線(xiàn)方程為y=k（x-1）+1或x=1
1）當(dāng)k存在時(shí)有

y=k(x-1)+1 x2- y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    ①．
當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)
∴x₁+x₂=

2(k2-k)

2-k2

    又M（1，1）為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
∴

x1+x2

2

=1   即

k-k2

2-k2

=1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解
故過(guò)點(diǎn)m（1，1）與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B且M為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的直線(xiàn)不存在．
2）當(dāng)x=1時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M但不滿(mǎn)足條件，
綜上，符合條件的直線(xiàn)l不存在．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，特別是相交時(shí)的中點(diǎn)弦問(wèn)題，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理的重要應(yīng)用，學(xué)會(huì)判斷直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷方法．