Question

10．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，則|$\overrightarrow{A{C_1}}$|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，兩邊平方即可得出答案．

解答 解：∵AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=6，
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．