Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+bx，則“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 求出f（x）的最小值及極小值點，分別把“b＜0”和“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”當(dāng)做條件，看能否推出另一結(jié)論即可判斷．

解答 解：f（x）的對稱軸為x=-$\frac{2}$，f_min（x）=-$\frac{^{2}}{4}$．
（1）若b＜0，則-$\frac{2}$＞-$\frac{^{2}}{4}$，∴當(dāng)f（x）=-$\frac{2}$時，f（f（x））取得最小值f（-$\frac{2}$）=-$\frac{^{2}}{4}$，
即f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的充分條件．
（2）設(shè)f（x）=t，則f（f（x））=f（t），
∴f（t）在（-$\frac{^{2}}{4}$，-$\frac{2}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
若f（f（x））=f（t）的最小值與f（x）的最小值相等，
則-$\frac{^{2}}{4}$≤-$\frac{2}$，解得b≤0或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的必要條件．
故選A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，簡易邏輯關(guān)系的推導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．