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【題目】甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．

(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望)．

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意列出所有可能的事件求解概率可得甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率是；

(2)X的可能取值為2,3,4,5.據此求得分布列，然后可得數學期望為 .

試題解析：

用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)

＝2＋×2＋××2＝.

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，

P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)

＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，

P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)

＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列為

2

3

4

5

E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

練習冊系列答案
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⑴記所抽取的3道題中，甲答對的題數為X，則X的分布列為____________；

⑵記乙能答對的題數為Y，則Y的期望為_________．

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【題目】某次考試中，語文成績服從正態(tài)分布，數學成績的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優(yōu)秀，隨機抽取的500名學生在本次考試中語文、數學成績特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設數學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語文和數學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（Ⅰ）中至少有一科成績特別優(yōu)秀的同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）根據以上數據，是否有99%的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學，數學也特別優(yōu)秀.

（附公及表）

①若，則， ；

②， ；

③

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（Ⅲ）設集合， 中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

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