Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足條件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n． 若 c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推公式可得a_n=3a_n-1由可證數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列
（2）由（1）得 c_n=a_nb_n=n.3ⁿ，利用乘公比錯位相減求和即可
解答：解：（1）由題得…（2分）所以a_n=3a_n-1故有…（4分）
又，解得a₁=3，所以數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列…（6分）
由（1）得a_n=3ⁿ，則b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n…（8分）故有 c_n=a_nb_n=n3ⁿ
設T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+（n-1）3^n-1+n•3ⁿ
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹…（10分）
則 
所以…（14分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，錯位相減求解數(shù)列的和，這是數(shù)列求和方法的難點所在．