Question

【題目】已知圓：，其圓心在拋物線：上，圓過(guò)原點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可知：，求解可得拋物線方程；

（2）分兩種情況求解：①當(dāng)動(dòng)弦所在的直線斜率不存在時(shí)，易得；②當(dāng)動(dòng)弦所在的直線斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，且，，聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理表示出；又所在的直線方程為，可求得點(diǎn)，計(jì)算求其范圍即可.

（1）由題意可知：，

解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①當(dāng)動(dòng)弦所在的直線斜率不存在時(shí)，易得，；

②當(dāng)動(dòng)弦所在的直線斜率存在時(shí)，易知的斜率不為0，

設(shè)所在直線方程為，且，，

聯(lián)立方程組，消去得；

∴，，且；

∴；

所在的直線方程為，

聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)，∴，

∴；綜上所述，的最小值為2.