Question

20．sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，α∈（0，π），求
（1）cos2α
（2）tanα

Answer 1

分析 （1）將式子sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，兩邊平方后，求出2sinαcosα的值，結(jié)合α的范圍判斷出sinα-cosα的符號，再由平方關(guān)系求出sinα-cosα的值．
（2）由（1）可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，聯(lián)立解得sinα，cosα的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解．

解答 解：（1）由題意得，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
兩邊平方得，2sinαcosα=$\frac{1}{4}$＞0，
∵α∈（0，π），sinα＞0，
∴cosα＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：2α∈（0，π），
又∵（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=$\frac{3}{4}$，從而有：cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（4分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$．…（6分）
（2）∵由（1）可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}\\{cosα=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}\\{cosα=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=4-$\sqrt{15}$或4+$\sqrt{15}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的符號，注意需要結(jié)合式子的符號進(jìn)行判斷，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．