Question

11．已知三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，有以下四個(gè)命題：
（1）以$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$為邊長的三角形一定存在；
（2）以a²，b²，c²為邊長的三角形一定存在；
（3）以$\frac{a+b}{2}$，$\frac{b+c}{2}$，$\frac{c+a}{2}$為邊長的三角形一定存在；
（4）以|a-b|+1，|b-c|+1，|c-a|+1為邊長的三角形一定存在；
其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，不妨設(shè)a≥b≥c，則b+c＞a．通過作差或平方作差，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及其三角形三邊大小關(guān)系即可判斷出結(jié)論．

解答 解：三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，不妨設(shè)a≥b≥c，則b+c＞a．
（1）∵$（\sqrt+\sqrt{c}）^{2}-（\sqrt{a}）^{2}$=b+c-a+2$\sqrt{bc}$＞0，∴$\sqrt$+$\sqrt{c}$＞$\sqrt{a}$，∴以$\sqrt{a}$、$\sqrt$、$\sqrt{c}$為邊長的三角形一定存在；
（2）∵b²+c²-a²=（b+c）²-2bc-a²＞0，不一定成立，因此以a²，b²，c²為邊長的三角形不一定存在；
（3）∵$\frac{b+c}{2}$+$\frac{a+c}{2}$-$\frac{a+b}{2}$=c＞0，因此以$\frac{a+b}{2}$，$\frac{b+c}{2}$，$\frac{c+a}{2}$為邊長的三角形一定存在；
（4）∵|a-b|+1+|b-c|+1≥|a-c|+2＞|c-a|+1，∴以|a-b|+1，|b-c|+1，|c-a|+1為邊長的三角形一定存在；
其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作差法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及其三角形三邊大小關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．