Question

已知函數(shù)（，），．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）證明不等式 （）．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）

（3）由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，

而所以當(dāng)時(shí)， 即   放縮法來得到。

【解析】

試題分析：解：（1）                 1分

則

                 2分

（i）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間.        3分

極大值為

所以只有一個(gè)零點(diǎn).

（ii）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.

極小值為              4分

所以只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn).

5分

（2）

              6分

由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知,恒成立.

則   恒成立.          7分

(法一)由二次函數(shù)的圖象(開口向上，過定點(diǎn))可得或 

8分

則 或

則 或

得 .

可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增

故 .                         9分

(法二)分離變量

因  （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號） 8分

所以 ， 則.

可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增

故                           9分

（3）由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，

而

所以當(dāng)時(shí)，

即                     10分

令 ，

則                    11分

則

所以 ，，  , ,,

以上個(gè)式子累加可得

12分

則

則           13分

則

故  （）．      14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與不等式中的運(yùn)用，屬于中檔題。