Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)锳，關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為B．
（1）若a=4，b=-2．c=3，求集合A與B；
（2）若A=[0，+∞），B=（m，m+6），求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a=4，b=-2，c=3時(shí)，求出f（x）的值域A與不等式f（x）＜c的解集B；
（2）根據(jù)f（x）的值域A得出△=0①，不等式f（x）＜c的解集為B得出a²-4（b-c）=6²②；由①②求出c的值．

解答： 解：（1）a=4，b=-2，c=3時(shí)，
f（x）=x²+4x-2=（x+2）²-6≥-6；
∴函數(shù)的值域?yàn)锳=[-6，+∞）；
又∵f（x）＜c，
∴x²+4x-5＜0，
解得-5＜x＜1；
∴不等式的解集為B=（-5，1）；
（2）∵A=[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b≥0，
即△=a²-4b=0①；
又設(shè)f（x）-c=x²+ax+b-c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，
且B=（m，m+6），
∴(x1-x2)2=a²-4（b-c）②；
由①②知，6²=4c，
∴c=9．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．