數(shù)列{a
n}中a
1=2,
an+1=(an+),{b
n}中
bn • log9=1,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;
(2)當(dāng)n≥3(n∈N
*)時,證明:
+++…+<3.
分析:(1)根據(jù){b
n}中
bn • log9=1,n∈N*,
an+1=(an+),可得
bn+1=bn,從而可證數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;
(2)先將通項化簡可得
==2n,從而有
Cn==,先證:
< (n≥3),從而有
+++…+<+++…+令
T=+++…+①
T=++…++②,利用錯位相減法即可求解.
解答:證明:(1)由
bn+1 • log9=1⇒bn+1 • log9=1⇒bn+1 • log9()2=1⇒2bn+1 • log9=1又
bn • log9=1∴
bn+1=bn又n=1時,
b1 • log9=1⇒b1=2∴{b
n}為等比數(shù)列,b
1=2,
q=,∴
bn=2 • ()n-1=()n-2(2)∵
bn=()n-2=4 • ()n⇒==2n∴
Cn==先證:
< (n≥3)當(dāng)n為偶數(shù)時,顯然成立;
當(dāng)n為奇數(shù)時,即證
<?n • 2n<n • 2n-n+2n-1?2n>n+1而當(dāng)n≥3時,2
n>n+1也成立,故
< (n≥3)∴
+++…+<+++…+令
T=+++…+①
T=++…++②
①-②:
T=1+++…+-⇒T=2+++…+-=
2+-=3-()n-1-<3∴
+++…+<3 點評:本題以數(shù)列為載體,考查等比數(shù)列,考查數(shù)列與不等式,考查錯位相減法,綜合性強(qiáng),難度大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
數(shù)列{a
n}中a
1=2,
an+1=(an+),{b
n}中
bn • log9=1,n∈N*.求證:數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列,并求出其通項公式;
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下面幾種推理過程是演繹推理的是( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
數(shù)列{a
n} 中a
1=
,前n項和S
n滿足S
n+1-S
n=
()n+1(n∈N
*).
( I ) 求數(shù)列{a
n}的通項公式a
n以及前n項和S
n;
(Ⅱ)記
bn=(n∈N
*)求數(shù)列{b
n} 的前n項和T
n;
(Ⅲ)試確定T
n與
(n∈N
*)的大小并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在數(shù)列{a
n}中
a1=1,an+1=an+,則a
n=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=
+4(x≠0),各項均為正數(shù)的數(shù)列{a
n}中a
1=1,
=f(a
n)(n∈N
+).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)數(shù)列{b
n}滿足:
?n∈N+,bn=,S
n為數(shù)列{b
n}的前n項和,若S
n>a對?n∈N
+恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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