Question

點(diǎn)M是橢圓

x2

64

+

y2

36

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是左右焦點(diǎn)，∠F₁MF₂=60°，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得半焦距c，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得|MF₁|+|MF₂|的值，進(jìn)而利用余弦定理求得|MF₁|和|MF₂|的關(guān)系式，聯(lián)立方程求得|MF₁|和|MF₂|，最后根據(jù)三角形面積公式求得三角形的面積．

解答：解：由

x2

64

+

y2

36

=1，得a=8，b=6，c=

a2-b2

=2

7

．
根據(jù)橢圓定義，有|MF₁|+|MF₂|=2a=16．
在△F₁MF₂中，由余弦定理，得到
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos∠F₁MF₂．
即(4

7

)2=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos60°，
112═|MF₁|²+|MF₂|²-|MF₁|•|MF₂|=（|MF₁|+|MF₂|）²-3|MF₁|•|MF₂|=16²-3|MF₁|•|MF₂|，
解得|MF₁|=|MF₂|=48．
△F₁MF₂的面積為：S=

1

2

|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=

1

2

×48×sin60°=12

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．特別是利用橢圓的定義解決橢圓的實(shí)際問題．