Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F₂，直線AF₂與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點(diǎn)F₁且斜率為1的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，求△PF₂Q的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AF₂的方程，利用直線與圓相切，列出方程，求出a即可求出橢圓C的方程；
（2）求出過橢圓C的左焦點(diǎn)F₁且斜率為1的直線l的方程，與橢圓C聯(lián)立，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通過韋達(dá)定理求出數(shù)據(jù)關(guān)系，推出求△PF₂Q的面積的表達(dá)式求解即可．

解答： 解：（1）橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F₂，
可得A（0，1），F(

a2-1

，0)，
∴直線AF₂的方程為

x

a2-1

+y=1，…（2分）
即x+

a2-1

y-

a2-1

=0，
∵AF₂與⊙M相切，
∴d=

|3+ a2-1 - a2-1 |

1+a2-1

=

3

，
∴a=

3

…（5分）
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（6分）
（2）由（1）知c=

2

，∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)…（7分）
∴l(xiāng)的方程y=x+

2

由

y=x+ 2 x2 3 +y2=1

得4y2-2

2

y-1=0…（9分）
顯然△＞0…（12分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則y1+y2=

2

2

，y1y2=-

1

4

…（11分）
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

1 2 +1

=

6

2

…（12分）
∴S△PF2Q=S△PF1F2+S△QF1F2=

1

2

×|F1F2|×|y1-y2|=

1

2

×2

2

×

6

2

=

3

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．