已知橢圓C的右焦點為F2(2,0),實軸的長為4
2

(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A,B和D,E,求|AB|+|DE|的最小值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題可知:橢圓的焦點在x軸上,其標準方程可設為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,由已知得實軸的長為2a=4
2
,由此能求出橢圓的標準方程.
(2)當AB或DE所在的直線斜率為零時,另一條直線的斜率不存在,此時|AB|+|DE|=2
2
+4
2
=6
2
;當AB與DE所在的直線斜率都存在,而且不為零時,設AB所在直線的斜率為k,則DE所在的直線斜率為-
1
k
.則AB所在直線方程為:y=k(x+2).聯(lián)立
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0.由此利用韋達定理、弦長公式、二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合已知條件能求出當k=±1時,|AB|+|DE|取得最小值
16
2
3
解答: 解:(1)由題可知:橢圓的焦點在x軸上,其標準方程可設為:
x2
a2
+
y2
b2
=1

又實軸的長為2a=4
2
,則a=2
2
,a2=8;c2=a2-b2=22=4,故b2=4.
故橢圓的標準方程為:
x2
8
+
y2
4
=1
…(4分)
(2)由題可知:
1°當AB或DE所在的直線斜率為零時,另一條直線的斜率不存在,此時|AB|+|DE|=2
2
+4
2
=6
2
…(6分)
2°當AB與DE所在的直線斜率都存在,而且不為零時,設AB所在直線的斜率為k,則DE所在的直線斜率為-
1
k

則AB所在直線方程為:y=k(x+2).
聯(lián)立
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得:x2+2k2(x+2)2-8=0,即(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0.
設A,B兩點的橫坐標分別為x1,x2則由韋達定理可得:x1+x2=-
8k2
2k2+1
;x1x2
8k2-8
2k2+1
…(8分)
|AB|=
k2+1
|x1-x2|
=
k2+1
(x1+x2)2-4x1x2

=
k2+1
(
8k2
2k2+1
)
2
-4×
8k2-8
2k2+1

=
k2+1
32(k2+1)
(2k2+1)2
=4
2
×
k2+1
2k2+1

-
1
k
代換上式中的k可得:|DE|=4
2
×
(-
1
k
)
2
+1
2(-
1
k
)
2
+1
=4
2
×
1+k2
2+k2
…(10分)

則|AB|+|DE|=4
2
×
k2+1
2k2+1
+4
2
×
1+k2
2+k2
=4
2
(k2+1)(
1
2k2+1
+
1
2+k2
)

=4
2
(k2+1)
3(k2+1)
(2k2+1)(2+k2)
=
12
2
(
2k2+1
k2+1
)(
2+k2
k2+1
)
=
12
2
(2-
1
k2+1
)(1+
1
k2+1
)

t=
1
k2+1
,則t∈(0,1].此時f(t)=(2-
1
k2+1
)(1+
1
k2+1
)=(2-t)(1+t)=-t2+t+2,t∈(0,1]

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:f(t)min=f(1)=2,f(t)max=f(
1
2
)=
9
4
.故(|AB|+|DE|)min=
12
2
9
4
=
16
2
3

此時t=
1
2
,即k2=1,k=±1.
綜上可知:當k=±1時|AB|+|DE|取得最小值,最小值為
16
2
3
.…(13分)
點評:本題考查橢圓的標準方程的求法,考查線段和的最小值的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
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x2
4
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17
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a
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b
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2
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