對于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱點（x，f（x））為函數(shù)f（x）的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有不動點（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax2+bx-2b總有2個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若定義在R上的函數(shù)g（x）滿足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n個不動點，求證：n必為奇數(shù)．
【答案】分析：（1）根據(jù)不動點的定義，及已知中函數(shù)f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有不動（0，0）和（1，1），我們易構(gòu)造一個關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；
（2）若函數(shù)f（x）=ax2+bx-2b總有兩個相異的不動點，則方程ax2+bx-2b=x有兩個相異的實根，由此可以構(gòu)造出一個不等式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到a的范圍；
（3）（x，x）與（-x，-x）是成對出現(xiàn)，故是偶數(shù)，（0，0）在圖形上，所以，n必是奇數(shù)．
解答：解：（1）由題意 ，即，
解得．∴f（x）=x2
（2）函數(shù)f（x）=ax2+bx-2b總有兩個相異的不動點，
即關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個不等根．
化簡f（x）=x得到ax2+（b-1）x-2b=0．
所以（b-1）2+8ab＞0，即b2+（8a-2）b+1＞0．
由題意，該關(guān)于b的不等式恒成立，
所以（8a-2）2-4＜0．解之得：0＜a＜．
（3）（x，x）與（-x，-x）是成對出現(xiàn)，故是偶數(shù)，（0，0）在圖形上，所以，n必是奇數(shù)．
點評：本題主要考查了新定義，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
（填出所有滿足條件的函數(shù)序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動點．若函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設(shè)bn=-
1
an
，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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