Question

已知函數(shù) f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．若對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：函數(shù) f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

的解析式可化為f（x）=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

，令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3），則f（x）=y=1+

k-1

t

，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，并分析出函數(shù)的值域，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，求出各種情況下實(shí)數(shù)k的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù) f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3）
則f（x）=y=1+

k-1

t

若k-1＜0，即k＜1，函數(shù)y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上為增函數(shù)
此時的函數(shù)f（x）=y值域?yàn)閇1+

k-1

3

，1）
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則2（1+

k-1

3

）≥1，就可以滿足條件
解得-

1

2

≤k＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）顯然成立
若k-1＞0，即k＞1
函數(shù)y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上為減函數(shù)
此時的函數(shù)f（x）=y值域?yàn)椋?，1+

k-1

3

]
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則1+1≥1+

k-1

3

，
解得1＜k≤4
綜上所述：-

1

2

≤k≤4
故答案為：-

1

2

≤k≤4

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中利用換元思想及基本不等式將函數(shù)的解析式化為f（x）=y=1+

k-1

t

，是解答的關(guān)鍵．