Question

在一個棱長為4的正方體封閉的盒內，有一個半徑等于1的小球，若小球在盒內任意地運動，則小球達不到的空間的體積為

32-

22π

3

．

Answer 1

分析：小球在盒子不能到達的空間分以下幾種情況：在正方體頂點處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積的

1

8

，在棱長處對應的正方體中，其體積等于這些小正方體體積的和減以球的直徑為底面直徑，以正方體和的高為高的圓柱的

1

4

，其他空間小球均能到達，綜合可得到結果．

解答：解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內，
小球不能到達的空間為：8[1³-

1

8

（

4π

3

×1³）]=8-

4

3

π，
除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個1×1×2的正四棱柱空間內，
小球不能到達的空間共為12×[1×1×2-

1

4

（π×1²）×2]=24-6π．
其他空間小球均能到達．
故小球不能到達的空間體積為：（8-

4

3

π）+24-6π=32-

22

3

π．
故答案為：32-

22π

3

點評：本題考查球的體積，棱柱的體積，建立良好的空間想象能力是解答本題的關鍵．