Question

已知下列四個命題：
①若函數(shù)y=f（x）在x_°處的導(dǎo)數(shù)f′（x₀）=0，則它在x=x₀處有極值；
②若不論m為何值，直線y=mx+1均與曲線有公共點，則b≥1；
③若，則a、b、c中至少有一個不小于2；
④若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，則|a+1|＞2；
以上四個命題正確的是________（填入相應(yīng)序號）

Answer 1

③④
分析：判斷命題①，可以舉一個例子，如函數(shù)f（x）=x³，在x=0處的導(dǎo)數(shù)為0，但函數(shù)在x=0處無極值；
命題②中的直線過定點（0，1），保證b²≥1，即b≥1或b≤-1的值，都能使點（0，1）在曲線上或其內(nèi)部；
命題③采用反證法，假設(shè)a、b、c都小于2，三個式子相加后重新組合，運用基本不等式可得到與假設(shè)矛盾；
命題④轉(zhuǎn)化成“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，然后求a的范圍問題直接求解復(fù)雜，考慮絕對值的幾何意義解決．
解答：命題①，設(shè)函數(shù)f（x）=x³，f^′（0）=0，函數(shù)f（x）在x=0處無極值，所以命題①不正確．
命題②，不論m為何值，直線y=mx+1恒過定點（0，1），所以只要b²≥1，點（0，1）一定在橢圓內(nèi)部，所以
直線y=mx+1均與曲線有公共點，此時b≥1或b≤-1，所以命題②不正確．
命題③，假設(shè)a、b、c均小于2，即，，，則，
而=≥（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時等號成立），與假設(shè)矛盾，所以，若，則a、b、c中至少有一個不小于2成立，故命題③正確．
命題④，若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，結(jié)合絕對值的幾何意義，|x-a|+|x+1|看作數(shù)軸上實數(shù)x對應(yīng)的動點X到兩實數(shù)a和-1所對應(yīng)定點的距離，若實數(shù)a對應(yīng)的點到實數(shù)-1對應(yīng)點的距離大于2，即|a+1|＞2，則數(shù)軸上不存在實數(shù)x對應(yīng)的動點到a和-1所對應(yīng)定點的距離和小于等于2，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，故命題④正確．
故答案為③④．
點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是每個命題的命題意圖，命題①說明了導(dǎo)函數(shù)為0的點不一定是極值點；命題②考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法；命題③考查了含有“至少”、“至多”、“存在”等一系列問題的常用證法（反證法）；命題④體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化法這種數(shù)學(xué)思想方法．該題涉及知識點多，處理方法靈活．