Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=．
（1）判斷并證明f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為4，得到（2）和f（-2）的值．然后求（-2，0）上的解析式，通過(guò)在（-2，0）上取變量，轉(zhuǎn)化到（0，2）上，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域問(wèn)題即可．
解答：（本題滿(mǎn)分16分） 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分（10分），第2小題滿(mǎn)分（6分）．
解：（1）f（x）在（0，2）上為減函數(shù)．                         …（2分）
證明如下：設(shè)0＜x₁＜x₂＜2
則-＜0，1-＜0，（+1）（+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=-=＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，2）上為減函數(shù)．                 …（4分）
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，0＜-x＜2，f（-x）==
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-．，…（6分）
當(dāng)x=0時(shí)，由f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0                     …（7分）
∵f（x）有最小正周期4，∴f（-2）=f（-2+4）=f（2）⇒f（-2）=f（2）=0…（9分）
綜上，f（x）=
（2）f（x）周期為4的周期函數(shù)，關(guān)于方程f（x）=λ在[2，6]上有實(shí)數(shù)解的λ的范圍即為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．                 …（11分）
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)由（1）知，f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，
∴=f（2）＜f（x）＜f（0）＜，
當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f（x）∈（-，-）          …（13分）
當(dāng)x∈{-2，0，2}時(shí)，f（x）=0                  …（14分）
∴f（x）的值域?yàn)椋?，-）∪{0}∪（，）      …（15分）
∴λ∈（-，-）∪{0}∪（，）時(shí)方程方程f（x）=λ在[2，6]上有實(shí)數(shù)解．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查如何利用求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的解析式，特別注意端點(diǎn)問(wèn)題，還考查了用定義證明單調(diào)性求分段函數(shù)值域問(wèn)題．