Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足ccosB+bcosC-3acosA=0．
（Ⅰ） 求cosA的值；     
（Ⅱ） 若△ABC的面積是

15

，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，再利用誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinA不為0，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值及A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入求出bc的值，將所求式子利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡后，將bc及sinA的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡已知的等式得：sinCcosB+sinBcosC-3sinAcosA=0，
即sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosA，
∴sin（B+C）=3sinAcosA，即sinA=3cosAsinA，
又sinA≠0，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
由題意，得S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

3

bc=

15

，
∴bc=

3 30

2

，
則

AB

•

AC

=bccosA=

3 30

2

×

1

3

=

30

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．