已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）借助題中的已知條件以及、、三者之間的相互關系確定、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對直線的斜率存在與不存在這兩種情況進行討論，即根據(jù)這個條件確定直線傾斜角為時，直線的方程，以及根據(jù)這個條件在斜率存在時方程中、之間的等量關系，并借助圓心（原點）到直線的距離等于圓的半徑確定直線與圓相切.
試題解析：解（Ⅰ）由已知得，且
解得，又
所以橢圓的方程為            4分
（Ⅱ）證明：有題意可知，直線不過坐標原點，設的坐標分別為
（�。┊斨本�軸時，直線的方程為且
則
     
，解得
故直線的方程為
因此，點到直線的距離為
又圓的圓心為，半徑
所以直線與圓相切                     9分
（ⅱ）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為
由 得



  
故
即       ①
又圓的圓心為，半徑
圓心到直線的距離為
    ②
將①式帶入②式得

所以
因此，直線

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經過右焦點的任一弦(不經過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數(shù)，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ－）＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos（θ－）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，左焦點為. 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與曲線交于不同的、兩點，且線段的中點在圓 上，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上．若橢圓上的點到焦點、的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓的方程和焦點坐標．
（2）過點的直線與橢圓交于兩點、，當的面積取得最大值時，求直線的方程．

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