Question

已知復(fù)數(shù)z₁=i(1-i)³,(1)求|z₁|;(2)若|z|=1,求|z-z₁|的最大值.

Answer 1

思路分析:(1)求模應(yīng)先求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,再利用|a+bi|=得出;(2)是考查復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.

解:(1)z₁=i(1-i)³=i(-2i)(1-i)=2(1-i),

∴|z₁|=.

圖3-1-3

(2)|z|=1可看成半徑為1,圓心為(0,0)的圓,而z₁可看成在坐標(biāo)系中的點(diǎn)(2,-2),

∴|z-z₁|的最大值可以看成點(diǎn)(2,-2)到圓上點(diǎn)的距離的最大值,由圖3-1-3可知,|z-z₁|_max=+1.

    方法歸納 運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義,采取數(shù)形結(jié)合的方法解題,可簡(jiǎn)化解題步驟,事半功倍.

變式方法:∵|z|=1,

∴設(shè)z=cosθ+isinθ,

|z-z₁|=|cosθ+isinθ-2+2i|=

當(dāng)sin(θ-)=-1時(shí),|z-z₁|²取得最大值9+.

從而得到|z-z₁|的最大值為+1.

    方法歸納 在設(shè)復(fù)數(shù)的過程中常設(shè)為z=a+bi(a,b∈R);在有關(guān)的解決軌跡的問題中常設(shè)z=x+yi,從而與解析幾何聯(lián)系起來;當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時(shí)也可以設(shè)為z=cosθ+isinθ,用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.