12.△ABC的三個內角A、B、C,所對的邊分別是a、b、c,若a=2,c=2$\sqrt{3}$,tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB,則△ABC的面積S△ABC=( 。
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.1C.$\sqrt{3}$D.2$\sqrt{3}$

分析 由已知結合兩角和的正確求得C,利用正弦定理求得A,則B可求,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:由tanA+tanB=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$tanAtanB,得tanA+tanB=$\sqrt{3}$(1-tanAtanB),
∴tan(A+B)=$\sqrt{3}$,即tanC=-$\sqrt{3}$.
∵0<C<π,∴C=$\frac{2π}{3}$.
則sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
由正弦定理可得:$\frac{2}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2}{3}π}$,得sinA=$\frac{1}{2}$,∴A=$\frac{π}{6}$.
則B=$π-\frac{2}{3}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$.
故選:C.

點評 本題考查兩角和的正切,考查正弦定理在求解三角形中的應用,是中檔題.

練習冊系列答案
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