Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c且f（-1）=0，f（1）=1．是否存在常數(shù)a，b，c使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)對一切實數(shù)x都成立？若存在，求出實數(shù)a，b，c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)f（-1）=（1）=1，解出b=

1

2

，c=

1

2

-a，得到函數(shù)表達(dá)式化簡為f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．然后設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)對一切實數(shù)x都成立，運用根的判別式建立關(guān)于實數(shù)a的不等式組，解之可得a=

1

4

，由此即可得到存在常數(shù)a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)對一切實數(shù)x都成立．

解答：解：∵f（-1）=0且f（1）=1
∴a-b+c=0且a+b+c=1．聯(lián)解可得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
函數(shù)表達(dá)式化簡為：f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)對一切實數(shù)x都成立
可得x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

1

2

(x2+1)對一切x∈R成立，
化簡得

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立，即

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0且1-2a＞0

解之得a=

1

4

，可得c=

1

2

-a=

1

4

．

∴存在常數(shù)a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)對一切實數(shù)x都成立．

點評：本題給出二次函數(shù)，在已知f（-1）=（1）=1的情況下討論不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)是否對一切實數(shù)x都成立的問題．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)恒成立的知識點，屬于中檔題．