Question

13．已知O為△ABC的外心，AB=2，AC=3，如果$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，其中x、y滿足x+2y=1且xy≠0，則cos∠BAC=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．利用垂經(jīng)定理可得：AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC．分別表示出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+y$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AC}$²，又x+2y=1，xy≠0，聯(lián)立解出即可．

解答 解：如圖所示，
過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=2，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²=$\frac{9}{2}$，
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+y$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，化為2=4x+6ycos∠BAC，
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AC}$²，化為$\frac{9}{2}$=6xcos∠BAC+9y，
又x+2y=1，xy≠0，
聯(lián)立解得cos∠BAC=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{2}$，x=0．（舍去）
y=$\frac{4}{7}$，x=-$\frac{1}{7}$，cos∠BAC=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、垂經(jīng)定理、三角形外心的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．