Question

在平面直角坐標系中，定義到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換為“γ變換”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是經(jīng)過“γ變換”得到的一列點．設(shè)a_n=|P_nP_n+1|，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，那么S₁₀的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由題設(shè)可求p₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可尋求a_n與a_n-1的關(guān)系，來研究數(shù)列{a_n}的性質(zhì)．再結(jié)合得出的性質(zhì)求和計算．
解答：由題設(shè)知p₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且當n≥2時，
a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由得 有
代入①計算化簡得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=+=（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=a_n²．
∴=，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以為公比的等比數(shù)列，且首項a₁=1，
∴a_n=^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=，
∴S₁₀==
故選C
點評：本題是新定義類型，實際上考查了等比數(shù)列的判定與求和，考查推理、論證、計算能力．由已知，若依次求出數(shù)列{a_n}的前10項，再相加求和固然可行，但運算量較大，繁瑣．因此探求數(shù)列{a_n}的性質(zhì)并利用得出的性質(zhì)成為一種需求與自然．