Question

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；

（Ⅱ）求證:當(dāng)時，有；

（Ⅲ）設(shè),當(dāng)時,不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）整數(shù)的最大值是.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過求的導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在時，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知當(dāng)時，，從而有．（Ⅲ）先由當(dāng)時,不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性從而得出，整數(shù)的最大值是.

試題解析：(Ⅰ),所以 ．  

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時，取得最大值；                  3分

（Ⅱ）當(dāng)時，．由（1）知：當(dāng)時，，即．

因此，有．      7分

（Ⅲ）不等式化為所以

對任意恒成立．令，

則，令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當(dāng)，即，當(dāng)，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．故整數(shù)的最大值是.         13分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性和最值；2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題