Question

已知向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(

2

，2)且f(x)=

a

•

b

+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x₁，x₂且m∈(1，

2

)，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）直接把向量的坐標代入解析式，利用數(shù)量積的坐標運算化簡；
（2）由x-

π

4

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π求出x的值進行列表，然后描點用平滑曲線連接；
（3）利用復合函數(shù)的單調性求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，通過取k得值求出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間；
（4）分析得到滿足m∈(1，

2

)時關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根x₁，x₂在[

π

2

，π]內切關于x=

3π

4

對稱，利用中點坐標公式求x₁+x₂的值．

解答：解：（1）由向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(

2

，2)，
所以f(x)=

a

•

b

+2=(sin(x-

π

4

)，-1)•(

2

，2)+2
=

2

sin(x-

π

4

)-2+2=

2

sin(x-

π

4

)．
（2）函數(shù)f（x）的周期為2π．
列表：

描點并用平滑曲線連接：

（3）由

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得

3π

4

+2kπ≤x≤

7π

4

+2kπ，k∈Z．
當K=-1時，得-

5π

4

≤x≤-

π

4

；當k=0時，得

3π

4

≤x≤

7π

4

．
所以f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間為[-π，-

π

4

]，[

3π

4

，π]．
（4）由

2

sin(x-

π

4

)＞1，得sin(x-

π

4

)＞

2

2

．
因為x∈[-π，π]，所以-

5π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

．
所以

π

4

＜x-

π

4

＜

3π

4

，則

π

2

＜x＜π．
所以當m∈(1，

2

)時方程f（x）=m的兩個根x₁，x₂關于x=

3π

4

對稱．
所以x₁+x₂=

3π

2

．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，訓練了利用五點作圖法作函數(shù)的圖象，訓練了復合函數(shù)單調性的求法，考查了函數(shù)零點的判斷方法，該題考查知識點多，訓練了學生綜合處理問題的能力，是中檔題．