Question

【題目】已知函數(shù)（，e是自然對(duì)數(shù)的底，）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，是函數(shù)的零點(diǎn)，是的導(dǎo)函數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，再根據(jù)與大小關(guān)系分類討論函數(shù)單調(diào)性，（2）先研究單調(diào)性，轉(zhuǎn)化所證不等式為，再根據(jù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化證明且．最后利用不等式性質(zhì)進(jìn)行論證.

（1），

設(shè) ，

解法一：由和在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，

解法二：由得可知在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

②當(dāng)時(shí)，由得或x＝1，

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）解法一（分析法）：

當(dāng)時(shí)，由（1）知在上的最大值為，

可知，所以在上無(wú)零點(diǎn)．

若是函數(shù)的零點(diǎn)，則，

∵，

解法一：由和在上單調(diào)遞增，且、，可知在上單調(diào)遞增，

解法二：設(shè)，則，

由得，，所以，

可知在上單調(diào)遞增，

要證，只需證，

由（1）知在上單調(diào)遞增，

只需證，又，

只需證且．

，

由，，得，又，所以；

，由得，

綜上所述，得證．

方法二（綜合法）：

當(dāng)時(shí)，由（1）知在上的最大值為，

可知，所以在上無(wú)零點(diǎn)．

若是函數(shù)的零點(diǎn)，則，

而 ，

由，，得，又，所以；

，由得，

所以，又，即，

由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，

而，

由和在上單調(diào)遞增，且、，

可知在上單調(diào)遞增，

所以，得證．