Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面abcd是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，設(shè)E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求空間幾何體BCDP的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線(xiàn)面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF∥PA，利用中位線(xiàn)定理即可得證；
（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為G，連接PG，證明PG⊥底面ABCD，可求空間幾何體BCDP的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，并且F是BD的中點(diǎn)，
∴F是AC的中點(diǎn)，-----------------------------------------------------------（2分）
在△PAC中，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，
∴EF∥PA，---------------------------------------------------------------------------（4分）
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．--------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，交線(xiàn)是AD，
在△PAD中，PA=PD=

2

2

AD
∴△PAD是等腰直角三角形，
設(shè)AD的中點(diǎn)為G，連接PG，則PG⊥AD，且PG=

1

2

a-----------------------------（6分）
∴PG⊥底面ABCD，
∴空間幾何體BCDP的體積是：VBCDP=VP-BCD=

1

3

×S△BCD×PG=

1

12

a3．---------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查空間幾何體BCDP的體積，解題時(shí)要合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，屬于中檔題．