Question

已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－b，－a](b＞a＞0)上是一個恒大于0的減函數(shù)，試問函數(shù)|f(x)|在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

　　設(shè)a≤x₁＜x₂≤b，則－a≥－x₁＞－x₂≥－b，由f(x)在[－b，－a]上遞減，有0＜f(－x₁)＜f(－x₂)．

　　又f(x)是奇函數(shù)，則0＜－f(x₁)＜－f(x₂)，

　　于是0＞f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x₁)－f(x₂)＞0．

　　而|f(x₂)|－|f(x₁)|＝－f(x₂)－[－f(x₁)]＝f(x₁)－f(x₂)＞0，

　　∴函數(shù)|f(x)|在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增．

提示：

　　分析：f(x)沒有給出解析式，只能用定義法判斷．

　　評注：(1)判斷f(x)在哪個區(qū)間上的單調(diào)性必須設(shè)x₁，x₂屬于哪一個區(qū)間．

　　(2)已知f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)，故可將[a，b]轉(zhuǎn)換到[－b，－a]上，從而利用f(x)在[－b，－a]上的單調(diào)性解之．

　　(3)用函數(shù)的奇偶性將f(－x)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)的關(guān)系，從而判斷f(x₁)與f(x₂)的大�。�