Question

8．如圖，已知平面ABB₁N⊥平面BB₁C₁C，四邊形BB₁C₁C，是矩形，ABB₁N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB₁，AB=BC=AN=4，BB₁=8．
（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）若M為AB中點，P是BC邊上一點，且滿足$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{3}$，求證：MP∥平面CNB₁；
（3）求多面體ABB₁NCC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）取BB₁中點D，連結(jié)ND，推導出BN⊥B₁C₁，BN⊥B₁N，由此能證明BN⊥平面C₁B₁N．
（2）以B為原點，BA、BB₁、BC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明MP∥平面CNB₁．
（3）多面體ABB₁NCC₁的體積V=${V}_{C-ABN}+{V}_{N-B{B}_{1}{C}_{1}C}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取BB₁中點D，連結(jié)ND，
∵平面ABB₁N⊥平面BB₁C₁C，四邊形BB₁C₁C，是矩形，
ABB₁N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB₁，AB=BC=AN=4，BB₁=8，
∴BC⊥平面ABB₁N，DN=AB=4，BN=B₁N=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴BN⊥B₁C₁，BN${\;}^{2}+{B}_{1}{N}^{2}$=BB₁²，∴BN⊥B₁N，
∵B₁C₁∩B₁N=B₁，∴BN⊥平面C₁B₁N．
解：（2）由（1）知AB、BB₁、BC兩兩垂直，
以B為原點，BA、BB₁、BC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
M（2，0，0），P（0，0，1），C（0，0，4），
N（4，4，0），B₁（0，8，0），
$\overrightarrow{MP}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{CN}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，8，-4），
設(shè)平面CNB₁的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=8y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=-2+0+2=0，MP?平面CNB₁，
∴MP∥平面CNB₁．
（3）多面體ABB₁NCC₁的體積：
V=${V}_{C-ABN}+{V}_{N-B{B}_{1}{C}_{1}C}$
=$\frac{1}{3}×BC×{S}_{△ABN}$+$\frac{1}{3}×AB×{S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$
=$\frac{1}{3}×4×（\frac{1}{2}×4×4）$+$\frac{1}{3}×4×4×8$
=$\frac{160}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解時要認真審題，注意向量法的合理運用．