已知函數(shù)f(x)=4x+
ax+1
，a＞-1，a為常數(shù)，
（1）若a=1，證明f（x）≥0；
（2）對任意x∈（1+∞）f（x）＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）把原函數(shù)變形為f（x）=4（x+1）+
1
x+1
-4，再利用基本不等式即可證明結(jié)論；
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為關于a的不等式a＞（1-4x）（1+x），再求出函數(shù)g（x）=（1-4x）（1+x）在（1，+∞）上的最值即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）a=1時，f(x)=4x+
1
x+1
，因x＞-1，所以x+1＞0，
所以f(x)=4(x+1)+
1
x+1
-4≥4-4=0，所以f(x)≥0．
（2）對任意x∈（1，+∞）有f（x）＞1，
即4x+
1
x+1
＞1得a＞(1-4x)(1+x)，令g(x)=(1-4x)(1+x)，
g(x)=-4x2-3x+1在(1，+∞)上遞增，所以g(x)＜g(1)=-6，
∴a≥-6，即a的取值范圍是[-6，+∞].
點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及基本不等式的應用．在應用基本不等式解題時，一定要先看是否滿足其成立的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　�。�
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當-4≤x＜3時，求f（x）取值的集合．

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