Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，在R上單調(diào)遞減．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若對一切，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

.證明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
由
得
即（6分）
又∵f（x）是R上的減函數(shù) （8分）
即對一切恒成立
（10分）

當(dāng)時(shí)，，（12分）
的最小值為2，
∴m＜2（14分）
分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）對任意x、y∈R恒成立，利用賦值法：令x=y=0可可求f（0）=0，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，從而可證
（2）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)及和f（x+y）=f（x）+f（y）得，結(jié)合函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù) 可得對一切恒成立，則m＜2的最小值，結(jié)合已知x的范圍及賦值角公式可求
點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值及證明函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性的知識綜合求解參數(shù)的范圍，要注意函數(shù)的恒成立問題與函數(shù)的最值的轉(zhuǎn)化．