Question

【題目】如圖一，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且該四棱錐的俯視圖和側(cè)視圖如圖二所示.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)．

【解析】

試題分析:（1）由勾股定理可得BC⊥BD，再由線面垂直性質(zhì)定理得BC⊥PD，因此由線面垂直判定定理得BC⊥平面PBD，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，通過解方程組求得各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系求結(jié)果

試題解析：(Ⅰ)證：由俯視圖可得

∴BC⊥BD

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD

∵BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD．

(Ⅱ)解：由側(cè)視圖可得MD = 3

由俯視圖及ABCD是直角梯形得：

∴

以為x軸、y軸、z軸建立的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，

則D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

設(shè)平面AMB的法向量為n1 = (x1，y1，z1)，則，即

令，則，∴是平面AMB的一個(gè)法向量

設(shè)平面BMC的法向量為n2 = (x2，y2，z2)，則，即

令x2 = 3，則，∴是平面BMC的一個(gè)法向量

又由圖可知，二面角A－BM－C為鈍二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值為．