Question

已知平面直角坐標(biāo)系中，A₁(-2，0)，A₂(2,0)、A₃(1,)，△A₁A₂A₃的外接圓為C；橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率e=.

(1)求圓C及橢圓C₁的方程；

(2)設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C上異于A₁、A₂的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=2于點(diǎn)Q，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

解:(1)∵|OA₁|=|OA₂|=|OA₃|=2，

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段OA₁為半徑，故其方程為x²+y²=4.

∴2a=4.∴a=2.又e=,∴c=,可得b=.∴所求橢圓C₁的方程是+=1.

(2)直線PQ與圓C相切.

證明:設(shè)P(x₀,y₀)(x₀≠±2),則y₀²=4-x₀².當(dāng)x₀=時(shí),P(,±),Q(2,0),k_OP·k_PQ=-1,

∴OP⊥PQ;當(dāng)x₀≠2時(shí),k_PF=,∴k_OQ=-.

∴直線OQ的方程為y=-x.

因此，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,).

∵k_PQ====,

∴當(dāng)x₀=0時(shí),k_PQ=0,OP⊥PQ;當(dāng)x₀≠0時(shí),k_OP=,∴k_PQ·k_OP=-1,OP⊥PQ.

綜上，當(dāng)x≠±2時(shí)，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C相切.