Question

12．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點M，點E是CD延長線上一點，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圓O于F，BF交CD于點G．
（1）求證：EF=EG；
（2）求線段MG的長．

Answer 1

分析 （1）由EF為圓的切線得∠EFG=∠BAF，由垂直關(guān)系可知點A、M、G、F四點共圓，從而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE
（2）由已知及切線長定理可得，EF=EG=4$\sqrt{3}$，從而MG=EM-EG=8-4$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）證明：連接AF，OF，則A，F(xiàn)，G，M共圓，
∴∠FGE=∠BAF，
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG，
（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=$\frac{4}{3}$OM=4，EF²=ED•EC=48，EF=EG=4$\sqrt{3}$，
連接AD，則∠BAD=∠BFD，
∴MG=EM-EG═8-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查幾何證明，關(guān)鍵是掌握切線長定理，以及圓的切線的性質(zhì)．屬于中檔題．