Question

已知數(shù)列{a_n}的前4項成等差數(shù)列，且滿足a_n+2=

an+2，n為奇數(shù) 2an，n為偶數(shù)

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，求滿足S_n＜2012的最大的S_n的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₂+a₃=a₁+a₄，a₁+a₃=2a₂，進(jìn)而可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，可得通項；
（2）由（1）可得S_n=

n2 4 +2 n+2 2 -2      n為偶數(shù) (n+1)2 4 +2 n+1 2 -2      n為奇數(shù)

，可知隨著n的增大，S_n逐漸增大，經(jīng)驗證S₁₉=1122，S₂₀=2146，可得答案．

解答：解：（1）由題意可得a₃=a₁+2，a₄=2a₂，
故數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，
又前4項成等差數(shù)列，故a₂+a₃=a₁+a₄，a₁+a₃=2a₂，
代入解得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，
故{a_n}的通項公式為：a_n=

n      n為奇數(shù) 2 n 2             n為偶數(shù)

，
（2）由（1）可得a_n=

n      n為奇數(shù) 2 n 2             n為偶數(shù)

，
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=

(1+n-1) n 2

2

+

2(1-2 n 2 )

1-2

=

n2

4

+2

n+2

2

-2，
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=

(1+n) n+1 2

2

+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=

(n+1)2

4

+2

n+1

2

-2，
故數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n=

n2 4 +2 n+2 2 -2      n為偶數(shù) (n+1)2 4 +2 n+1 2 -2      n為奇數(shù)

，
可知隨著n的增大，S_n逐漸增大，經(jīng)驗證S₁₉=1122，S₂₀=2146，
故滿足S_n＜2012的最大的S_n的值為：S₁₉=1122

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．