Question

【題目】已知函數(shù) （k∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k∈N*，且當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（ ）

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣ = ，（x＞0）．

①k≤0時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

②k＞0時，f′（x）= ．

△=（2﹣k）2﹣4=k（k﹣4）≤0時，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

△=k（k﹣4）＞0，k＞0時，解得k＞4．由x2+（2﹣k）x+1=0，解得x= ，

取x1= ，x2= .0＜x1＜x2．

∴f′（x）= ．令f′（x）＞0，解得x＞x2，0＜x＜x1，則函數(shù)f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增；在（x1，x2）上單調(diào)遞減．

綜上可得：k≤4，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

k＞4時，函數(shù)f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增；在（x1，x2）上單調(diào)遞減，其中x1= ，x2= ，0＜x1＜x2．

（2）解：由（I）可得：k≤4，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．而f（1）=5﹣ ≥3，∴當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立，滿足條件．

k＞4時，函數(shù)f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增；在（x1，x2）上單調(diào)遞減，其中x1= ，x2= ，0＜x1＜x2．

由于x1= ＜1＜x2，若f（1）=5﹣ ≥0，解得k≤10．

k＞10時舍去．

4＜k≤10時，必須f（x2）＞0，

由 +（2﹣k）x2+1=0，可得kx2= +2x2+1，

∴f（x2）=5+lnx2﹣ =4﹣x2+lnx2＞0，

k=10時，由 ﹣8x2+1=0，x2＞1，解得x2=4+ ．

f（x2）=4﹣（4+ ）+ln（4+ ）=ln（4+ ）﹣ ＜0，舍去．

同理可得：k=9不滿足條件舍去．

k=8時，由 ﹣6x2+1=0，x2＞1，解得x2=3+2 ．

f（x2）=4﹣（3+2 ）+ln（3+2 ）≈1﹣2 +1.76＜0，舍去．

k=7時，由 ﹣5x2+1=0，x2＞1，解得x2= ∈（4.75，4.8）．

f（x2）=4﹣x2+lnx2＞0，

綜上可得：當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立，k的最大值為7．

【解析】（I）f′（x）= ﹣ = ，（x＞0）．①k≤0時，f′（x）＞0，可得單調(diào)性．②k＞0時，f′（x）= ．△≤0時，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．△＞0，解得k＞4．由x2+（2﹣k）x+1=0，取x1= ，x2= .0＜x1＜x2 ． f′（x）= ．即可得出單調(diào)性．（II）由（I）可得：k≤4，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．而f（1）=5﹣ ≥3，當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立，滿足條件．k＞4時，函數(shù)f（x）在在（1，x2）上單調(diào)遞減，（x2 ， +∞）上單調(diào)遞增；1＜x2 ． 若f（1）=5﹣ ≥0，解得k≤10．k＞10時舍去．4＜k≤10時，必須f（x2）＞0，經(jīng)過驗證即可得出．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．