Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1(0，-2

2

)，且離心率e滿(mǎn)足

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線(xiàn)段MN恰被點(diǎn)P(-

1

2

，

3

2

)平分．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1(0，-2

2

)，且離心率e滿(mǎn)足

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列，求出幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，結(jié)合線(xiàn)段MN恰被點(diǎn)P(-

1

2

，

3

2

)平分，可得直線(xiàn)方程，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）e2=

8

9

，∴

c

a

=

2 2

3

，∵c=2

2

，∴a=3…（2分）
∴b²=1，∴

y2

9

+x2=1…（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則

y 2 1

9

+

x

2 1

=1，

y 2 2

9

+

x

2 2

=1，作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）+9（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0…（6分）
∵線(xiàn)段MN恰被點(diǎn)P(-

1

2

，

3

2

)平分
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=3
設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則k=3，∴直線(xiàn)l的方程為y=3x+3…（10分）
檢驗(yàn)：

y=3x+3 y2+9x2=9

，整理得x²+x=0顯然△＞0
檢驗(yàn)成立，所以存在這樣的直線(xiàn)l…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．