Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，且a₁=-20，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，變形為

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到．

解答： （I）證明：∵a_n+1=2a_n+3×2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，
∴數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為

a1

2

=-10，公差為3．
∴

an

2n

=-10+3（n-1）=3n-13，
∴a_n=（3n-13）•2ⁿ．
（II）解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-10•2-7•2²-…+（3n-16）•2^n-1+（3n-13）•2ⁿ，
∴2S_n=-10•2²-7•2³-…+（3n-16）•2ⁿ+（3n-13）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=-10×2+3•2²+…+3•2ⁿ-（3n-13）2ⁿ⁺¹
=-26+

3×2(2n-1)

2-1

-（3n-13）•2ⁿ⁺¹
=-32+（16-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=32+（3n-16）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．