Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，△APB面積的最大值為2

3

．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線AP的傾斜角為

3π

4

，且與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（c，0）．由題意知

1 2 •2a•b=2 3 a=2

，解得即可得出．
（II）以BD為直徑的圓與直線PF相切．由題意可知，c=1，F(xiàn)（1，0），直線AP的方程為y=-x-2．則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-4），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-2），圓的半徑r=2．直線AP的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得7x²+16x+4=0．可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．可得直線PF的方程為：4x-3y-4=0．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)E到直線PF的距離d．只要證明d=r．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（c，0）．
由題意知

1 2 •2a•b=2 3 a=2

，解得b=

3

．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可知，c=1，F(xiàn)（1，0），直線AP的方程為y=-x-2．
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-4），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-2），圓的半徑r=2．
由

y=-x-2 x2 4 + y2 3 =1

得7x²+16x+4=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

x0=- 2 7 y0=- 12 7

．
∵點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），直線PF的斜率為

4

3

，直線PF的方程為：4x-3y-4=0．
點(diǎn)E到直線PF的距離d=

|8+6-4|

5

=2．
∴d=r．
 故以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與圓相切的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．