Question

已知圓C過(guò)兩點(diǎn)M（2，2），N（1，3），且圓心C在直線(xiàn)3x-y-3=0上，點(diǎn)A（3，5）
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線(xiàn)方程；
（3）O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)OA，OC，求△AOC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由題意可求MN的垂直平分線(xiàn)得方程，聯(lián)立已知直線(xiàn)可得圓心C的坐標(biāo)，由距離公式可得MC，即圓的比較，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得；
（2）設(shè)直線(xiàn)方程為y-5=k（x-3），由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得k值，可得直線(xiàn)，驗(yàn)證直線(xiàn)無(wú)斜率的情形可得；
（3）由距離公式可得|AO|，可得點(diǎn)C到直線(xiàn)OA的距離d，代入面積公式可得．

解答：解：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得MN的中點(diǎn)為（

3

2

，

5

2

），
MN的斜率為

2-3

2-1

=-1，∴MN的垂直平分線(xiàn)的斜率為1，
故MN的垂直平分線(xiàn)為y-

5

2

=x-

3

2

，即y=x+1，
聯(lián)立

3x-y-3=0 y=x+1

解得x=2，y=3，即圓心C（2，3），
由距離公式可得MC²=（2-2）²+（3-2）²=1，
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-3）²=1
（2）當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為x=3，
圓心C（2，3）到直線(xiàn)的距離為1，滿(mǎn)足條件．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y-5=k（x-3），即kx-y+5-3k=0，
由直線(xiàn)與圓相切得

|-k+2|

k2+1

=1，∴k=

3

4

．
∴直線(xiàn)方程為x=3或y=

3

4

x+

11

4

，即x=3，或3x-4y+11=0
（3）由距離公式可得|AO|=

9+25

=

34

，
直線(xiàn)OA的方程為5x-3y=0，
∴點(diǎn)C到直線(xiàn)OA的距離d=

1

34

，
∴△AOC的面積S=

1

2

d|AO|=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求解以及圓的切線(xiàn)方程，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．