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7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x-4)2+(y-5)2=4和圓C2:(x+3)2+(y-1)2=4
(1)若直線l1過點A(2,0),且與圓C1相切,求直線l1的方程;
(2)若直線l2過點B(4,0),且被圓C2截得的弦長為23,求直線l2的方程;
(3)直線l3的方程是x=52,證明:直線l3上存在點P,滿足過P的無窮多對互相垂直的l4和l5,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等.

分析 (1)分類討論,利用圓心到直線的距離等于半徑,建立方程,即可求直線l1的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),再利用圓C2的圓心到l的距離、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解即可;
(3)設(shè)出過P點的直線l4與l5的點斜式方程,根據(jù)⊙C1和⊙C2的半徑,及直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等,可得⊙C1的圓心到直線l4的距離與圓C2的圓心到直線l5的距離相等,故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程,即可以求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

解答 (1)解:由題意,直線的斜率存在時,設(shè)方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0.
圓心到直線的距離為|2k5|k2+1=2,∴k=2120,∴直線l1的方程y=2120(x-2);
直線的斜率不存在時,方程為x=2也滿足題意,
綜上所述,直線l1的方程為y=2120(x-2)或x=2;
(2)解:設(shè)直線l2的方程為y=k(x-4),被圓C2截得的弦長為23
∴圓C2的圓心到l的距離為1.
由點到直線l的距離公式得d=|7k1|k2+1=1,解得k=0或-724
所以直線l的方程為y=0或y=-724(x-4);
(3)證明:設(shè)點P(a,b),由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0,
不妨設(shè)直線l4的方程為y-b=k(x-a),k≠0
則直線l5方程為:y-b=-1k(x-a),
∵⊙C1的圓心坐標(biāo)為(4,5),半徑r1=2,
⊙C2的圓心坐標(biāo)為(-3,1),半徑為r2=2,圓心距O102=3,
∵直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等,
∴⊙C1的圓心到直線l4的距離與圓C2的圓心到直線l5的距離相等,
|4ak+b5|k2+1=|1bk3a|1+k2
整理得k(3-a+b)+b+a-2=0或(5-b-a)k-a+b-8=0,
∵k的取值有無窮多個,
{3a+b=0a+b2=0{5ba=0ba8=0
{a=52b=12{a=32b=132
∴直線l3的方程是x=52,直線l3上存在點P,滿足過P的無窮多對互相垂直的l4和l5
它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等.

點評 本題考查點到直線的距離公式,直線與圓的位置關(guān)系,對稱的知識,注意方程無數(shù)解的條件,考查轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程的思想,�?碱}型,是中檔題.

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(1)求證:DE∥平面ABC
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