分析 (1)分類討論,利用圓心到直線的距離等于半徑,建立方程,即可求直線l1的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),再利用圓C2的圓心到l的距離、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解即可;
(3)設(shè)出過P點的直線l4與l5的點斜式方程,根據(jù)⊙C1和⊙C2的半徑,及直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等,可得⊙C1的圓心到直線l4的距離與圓C2的圓心到直線l5的距離相等,故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程,即可以求所有滿足條件的點P的坐標.
解答 (1)解:由題意,直線的斜率存在時,設(shè)方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0.
圓心到直線的距離為|2k−5|√k2+1=2,∴k=2120,∴直線l1的方程y=2120(x-2);
直線的斜率不存在時,方程為x=2也滿足題意,
綜上所述,直線l1的方程為y=2120(x-2)或x=2;
(2)解:設(shè)直線l2的方程為y=k(x-4),被圓C2截得的弦長為2√3,
∴圓C2的圓心到l的距離為1.
由點到直線l的距離公式得d=|−7k−1|√k2+1=1,解得k=0或-724,
所以直線l的方程為y=0或y=-724(x-4);
(3)證明:設(shè)點P(a,b),由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0,
不妨設(shè)直線l4的方程為y-b=k(x-a),k≠0
則直線l5方程為:y-b=-1k(x-a),
∵⊙C1的圓心坐標為(4,5),半徑r1=2,
⊙C2的圓心坐標為(-3,1),半徑為r2=2,圓心距O102=3,
∵直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等,
∴⊙C1的圓心到直線l4的距離與圓C2的圓心到直線l5的距離相等,
∴|(4−a)k+b−5|√k2+1=|(1−b)k−3−a|√1+k2
整理得k(3-a+b)+b+a-2=0或(5-b-a)k-a+b-8=0,
∵k的取值有無窮多個,
∴{3−a+b=0a+b−2=0或{5−b−a=0b−a−8=0
∴{a=52b=−12或{a=−32b=132
∴直線l3的方程是x=52,直線l3上存在點P,滿足過P的無窮多對互相垂直的l4和l5,
它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l4被圓C1截得的弦長與直線l5被圓C2截得的弦長相等.
點評 本題考查點到直線的距離公式,直線與圓的位置關(guān)系,對稱的知識,注意方程無數(shù)解的條件,考查轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程的思想,�?碱}型,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | 1 | C. | 0 | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com