Question

已知四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E為PB上任意一點(diǎn)，O為菱形對角線的交點(diǎn)，如圖所示．
（1）求證：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若∠BAD=60°，當(dāng)四棱錐的體積被平面EAC分成3：1兩部分時(shí)，若二面角B-AE-C的大小為45°，求PD：AD的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，結(jié)合菱形ABCD中AC⊥BD，利用線面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，從而得到平面EAC⊥平面PBD；
（II）連接OE，由錐體的體積公式結(jié)合V_E-ABC=

1

4

V_P-ABCD，得到E為PB的中點(diǎn)．由PD⊥面ABCD且PD∥OE，得到OE⊥面ABCD，證出平面EAC⊥平面ABCD，進(jìn)而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．過點(diǎn)O作OF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，證出AE⊥BF，由二面角平面角的定義得∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°．分別在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等積關(guān)系的三角函數(shù)定義，算出OE=

6

4

AD，由此即可得到PD：AD的值．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
又∵AC?平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（2）連接OE，
∵四棱錐的體積被平面EAC分成3：1兩部分，∴V_E-ABC=

1

4

V_P-ABCD，
∵△ABC的面積等于菱形ABCD面積的一半，
∴E到平面ABCD的距離等于P到平面ABCD距離的

1

2

，可得E為PB的中點(diǎn)．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO?平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
過點(diǎn)O作OF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，則
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF內(nèi)的相交直線，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
設(shè)AD=BD=a，則OB=

1

2

a，OA=

3

2

a，
在Rt△BOF中，tan∠BFO=

OB

OF

=

1 2 a

OD

=1，可得OF=

1

2

a
Rt△AOE中利用等積關(guān)系，可得OA•OE=OF•AE
即

3

2

a•OE=

1

2

a•

3 4 a2+OE2

，解之得OE=

6

4

a
∴PD=2OE=

6

2

a，可得PD：AD=

6

：2，即PD：AD的值為

6

2

．

點(diǎn)評：題給出一個(gè)特殊四棱錐，要我們證明面面垂直，并在已知二面角大小的情況下求線段的比值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明和二面角平面角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．