Question

2．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的方程為$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
（1）求直線l和⊙C的普通方程；
（2）若直線l與圓⊙C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$利用和差公式打開；根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得直線l和⊙C的普通方程．
（2）利用圓截直線的弦長(zhǎng)公式求|AB|即可

解答 解：（1）直線l的方程為$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$，
可得：ρsinθcos$\frac{2π}{3}$-ρcosθsin$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$
?-$\frac{1}{2}$y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$-\sqrt{3}$
即：$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$．
⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
可得：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，
?x²+y²=4x+2y
即：x²+y²-4x-2y=0，
故得直線l的普通方程為：$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$；⊙C的普通方程為：x²+y²-4x-2y=0．
（2）由x²+y²-4x-2y=0，可知圓心為（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$，
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}|}{2}=\frac{1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-epdaydx^{2}}=\sqrt{19}$
故得直線l與圓⊙C交于A，B兩點(diǎn)間的弦AB長(zhǎng)為$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換和圓心到直線的距離公式的運(yùn)用．