Question

8．平面直角坐標系中，點P、Q是方程$\sqrt{{x^2}+2\sqrt{7}x+{y^2}+7}+\sqrt{{x^2}-2\sqrt{7}x+{y^2}+7}$=8表示的曲線C上不同兩點，且以PQ為直徑的圓過坐標原點O，則O到直線PQ的距離為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{6}{5}$
• C． 3
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 先求出曲線C的軌跡方程，再分類討論：①當直線PQ斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可求原點O到直線的距離；②當直線PQ斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，即可得到結論．

解答 解：方程$\sqrt{{x^2}+2\sqrt{7}x+{y^2}+7}+\sqrt{{x^2}-2\sqrt{7}x+{y^2}+7}$=8，可化為$\sqrt{（x+\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$=8，
表示（x，y）到（-$\sqrt{7}$，0）、（$\sqrt{7}$，0）的距離的和等于8，且8＞2$\sqrt{7}$，
∴（x，y）的軌跡是以（-$\sqrt{7}$，0）、（$\sqrt{7}$，0）為焦點的橢圓，且a=4，c=$\sqrt{7}$，b=3，
∴軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
當直線PQ斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以PQ為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∴|x₁|=|y₁|=$\frac{12}{5}$
∴原點O到直線的距離為d=|x₁|=$\frac{12}{5}$
②當直線PQ斜率存在時，設直線PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，
消元可得（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0
∴x₁+x₂=-$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$
∵以PQ為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$-km×$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$+m²=0
∴25m²=144（k²+1）
∴原點O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{12}{5}$
綜上，點O到直線PQ的距離為$\frac{12}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．