Question

13．為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	68	70	71	73	合計(jì)
件數(shù)	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值μ=65，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．
（Ⅰ）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（P表示相應(yīng)事件的概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；若僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部都不滿(mǎn)足，則等級(jí)為�。�試判斷設(shè)備M的性能等級(jí)．
（Ⅱ）將直徑小于等于μ-2σ或直徑大于μ+2σ的零件認(rèn)為是次品．
（i）從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY；
（ii）從樣本中隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件，可得設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿(mǎn)足一個(gè)不等式，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），可得EY=2×$\frac{6}{100}$．
（ⅱ）確定Z的取值，利用超幾何分布可得相應(yīng)的概率，即可求出其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8＞0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，
∵設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿(mǎn)足一個(gè)不等式，故其性能等級(jí)為丙．
樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$．
（ⅱ）由題意可知Z的分布列為

Z	0	1	2
P	$\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$

E（Z）=$0×\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$+1×$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$+2×$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$=$\frac{3}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．